网络流简介

网络流在 OI 中是显得尤为重要的。在《算法导论》中就用了 35 页来讲述网络流的知识,在这里,给大家介绍网络流中的一些基本知识。

网络

首先,请分清楚 网络(或者流网络,Flow Network)与 网络流(Flow)的概念。

网络是指一个有向图

每条边 都有一个权值 ,称之为容量(Capacity),当 时有

其中有两个特殊的点:源点(Source) 和汇点(Sink)

定义在二元组 上的实数函数且满足

  1. 容量限制:对于每条边,流经该边的流量不得超过该边的容量,即,
  2. 斜对称性:每条边的流量与其相反边的流量之和为 0,即
  3. 流守恒性:从源点流出的流量等于汇点流入的流量,即

那么 称为网络 的流函数。对于 称为边的 流量 称为边的 剩余容量。整个网络的流量为 ,即 从源点发出的所有流量之和

一般而言也可以把网络流理解为整个图的流量。而这个流量必满足上述三个性质。

:流函数的完整定义为

网络流的常见问题

网络流问题中常见的有以下三种:最大流,最小割,费用流。

最大流

我们有一张图,要求从源点流向汇点的最大流量(可以有很多条路到达汇点),就是我们的最大流问题。

最小费用最大流

最小费用最大流问题是这样的:每条边都有一个费用,代表单位流量流过这条边的开销。我们要在求出最大流的同时,要求花费的费用最小。

最小割

割其实就是删边的意思,当然最小割就是割掉 条边来让 不互通。我们要求 条边加起来的流量总和最小。这就是最小割问题。

网络流 24 题

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